Uw huidige browser heeft updates nodig. Zolang u niet update zullen bepaalde functionaliteiten op de website niet beschikbaar zijn.
Let op: het geselecteerde rooster heeft overlappende bijeenkomsten.
Volgens onze gegevens heb je nog geen vakken behaald.
Je planning is nog niet opgeslagen
Let op! Uw planning heeft vakken in dezelfde periode met overlappend timeslot
Functies en reeksen
Cursusdoel
Vakinhoudelijk
Inhoud:
Centraal in dit college staat het thema dat functies beschreven kunnen worden
door middel van reeksen, in het bijzonder machtreeksen en Fourierreeksen.
Ter voorbereiding daarop begint het college met de notie van uniforme convergentie.
Daarbij worden functies opgevat als punten van een verzameling die voorzien
is van de uniforme metriek, en daarmee een metrische ruimte vormt, zodat we limieten
kunnen nemen. Uniforme limieten van continue functies blijken weer continu
te zijn. Ook wordt de notie van uniforme convergentie van reeksen van functies
bestudeerd.
Een eerste toepassing van deze notie ligt in de theorie van de machtreeksen.
Daarmee blijken complexe functies beschreven te kunnen worden die complex
differentieerbaar zijn. Met behulp van de Cauchy-Riemann vergelijkingen
wordt het begrip complexe differentieerbaarheid gerelateerd aan de in
het college `Analyse in Meer Variabelen 1' behandelde theorie van totale differentiatie.
Voor functies van een complexe variabele kunnen complexe lijnintegralen gedefinieerd
worden. Uit de in `Analyse in Meer Variabelen 1' behandelde homotopie-invariantie
van de lijnintegralen van rotatievrije vectorvelden wordt een soortgelijke
stelling voor complex differentieerbare functies afgeleid: de stelling van Cauchy.
Met deze stelling wordt bewezen dat een complex differentieerbare functie
altijd lokaal als machtreeks kan worden gegeven.
Ook wordt de hoofdstelling van de algebra bewezen, namelijk dat iedere complex
polynoom van graad minstens 1 een nulpunt (wortel) in het complexe vlak bezit.
Tenslotte blijkt de stelling van Cauchy een fraai hulpmiddel om verscheidene
oneigenlijke integralen uit te rekenen.
In het laatste deel van het college wordt de theorie van de reeksen toegepast
op Fourierreeksen (reeksen met als term $a_n \cos nx + b_n \sin nx$).
Het blijkt dat iedere voldoend nette $2\pi$-periodieke functie van een reële variabele
in zo'n Fourierreeks ontwikkeld kan worden.
Een belangrijk hulpmiddel is het integraal-inproduct van dergelijke functies.
Complexe e-machten geven ten aanzien van dat inproduct een oneindige
orthonormale basis, en de Fourier-coëfficiënten worden geïnterpreteerd
als componenten ten aanzien van de basis.
In deze optiek wordt de stelling van Parseval opgvat als oneindig
versie van de stelling van Pythagoras. Toegepast op een eenvoudige functie levert dit
de volgende identiteit van Euler: $\frac{\pi^2}{6) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}.$
Onderwijsvormen:
Toetsing:
Herkansing en inspanningsverplichting:
Studenten met een onvoldoende die zich ingespannen hebben voor de cursus mogen meedoen aan de herkansing.
Taal van het vak:
Het vak wordt in het Nederlands gegeven.
Werkvormen
Werkcollege
Toetsing
Eindresultaat
Verplicht | Weging 100% | ECTS 7,5
Ingangseisen en voorkennis
Ingangseisen
Er is geen informatie over verplichte ingangseisen bekend.
Voorkennis
Analyse, WISB114; Infi en Lineaire algebra 1, WISB107; Infi en Lineaire algebra 2, WISB108. (Goed verstand van de operaties van differentieren en integreren in één variabele. Het begrip van vector ruimte, van lineaire afbelding, en van isomorfisme tussen vector ruimtes).
Voertalen
- Nederlands
Cursusmomenten
Gerelateerde studies
- Informatica en wiskunde vanaf 2019-2020
- Informatica en wiskunde vanaf 2022-2023
- Minor Wiskunde
- Natuurkunde en Wiskunde 2023-2024
- Natuurkunde en wiskunde vanaf 2017-2018
- Natuurkunde en wiskunde vanaf 2019-2020
- Natuurkunde en wiskunde vanaf 2020-2021
- Wiskunde en Economie vanaf 2022-2023
- Wiskunde en toepassingen vanaf 2019-2020
- Wiskunde en toepassingen vanaf 2020-2021
- Wiskunde en toepassingen vanaf 2022-2023
- Wiskunde vanaf 2016-2017
- Wiskunde vanaf 2019-2020
- Wiskunde vanaf 2020-2021
- Wiskunde vanaf 2022-2023
Tentamens
Er is geen tentamenrooster beschikbaar voor deze cursus
Verplicht materiaal
Er is geen informatie over de verplichte literatuur bekend
Aanbevolen materiaal
Er is geen informatie over de aanbevolen literatuur bekend
Coördinator
prof. dr. C. Faber | c.f.faber@uu.nl |
Docenten
prof. dr. C. Faber | c.f.faber@uu.nl |
Inschrijving
Inschrijving
Van maandag 19 september 2022 tot en met vrijdag 30 september 2022
Na-inschrijving
Van maandag 24 oktober 2022 tot en met dinsdag 25 oktober 2022
Inschrijving niet geopend
Permanente link naar de cursuspagina
Laat in de Cursus-Catalogus zien